Les 7 problèmes mathématiques du millénaire. 2/2

poincare

Suite de l’article sur les 7 problèmes mathématiques du millénaire.

Voici les 5 autres énigmes dont 1 a été découverte en 2003 par Grigori Perelman.

Problème 3 : Conjecture de Hodge

Hodge est un mathématicien écossais qui a vécu de 1903 à 1975. Il établit une conjecture qui met en relation des objets algèbres et des constructions géométriques.

Vous voulez en savoir plus ?

La conjecture de Hodge établit un lien entre la topologie algébrique d’une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d’un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d’y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s’étendre à d’autres cas).
Cette conjecture peut s’énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d’une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés.
Source Wikipédia

Vous avez rien compris ? L’énoncé officiel de ce problème risque de ne pas vous aider (en anglais).

Hodge suppose en fait qu’il existe un lien entre des objets géométriques et algébriques mais il ne l’a pas démontré. Si un homme réussit à le prouver, il résoudra l’un des plus grandes énigmes de ce temps et empochera la somme de 1 million de dollars.

Problème 4 : Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

L’objectif est de résoudre des équations à plusieurs inconnus.

Euclide a donné les solutions complètes pour une équation de type x² + y² = z² mais pour des équations plus complexes, c’est plus difficile de trouver des solutions.

En fait, il n’y a pas de démonstrations générales pour savoir si une équation complexe a une solution ou pas.

Démontrer cette conjecture permettrait de savoir si une équation a des solutions et si oui lesquelles.

Problème 5 : Équations de Navier-Stokes

Au XIXème siècle, Henri Navier, ingénieur et mathématicien français, et George Gabriel Stokes, mathématicien et physicien britannique, ont élaboré des équations concernant la mécanique des fluides, par exemple aux niveaux des brises ou des turbulences lorsque l’on navigue sur un bateau.

Plus d’infos ? Description officiel des équations

Problème 6 : Équations de Yang-Mills

Le 6ème problème est l’étude des équations de Yang-Mills.

Il existe 4 types de forces entre les éléments dans l’Univers. On connait la gravitation qui permet d’attirer les éléments de grands volumes entre eux (les planètes, les satellites…). La force électromagnétique est la 2ème force la plus importante. Les ondes radios en sont un exemple.  Il y a l’interaction forte qui lie les quartz ensemble dans un proton ou neutron. Enfin, l’interaction faible est responsable de la fusion nucléaire dans les étoiles.

C’est dans ce dernier domaine que les scientifiques devront s’attaquer pour résoudre les équates de Yang-Mills.

Problème 7 : Conjecture de Poincaré – Résolu

Enfin, la conjecture de Poincaré est le seul problème résolu actuellement.

poincare

Pour résumer la conjecture, le mathématicien français a expliqué que tous objets sur Terre peuvent être représentées par une sphère. Pour lui, pour vulgariser, la différence principale entre une pomme et un donut n’est pas la forme aplati de ce dernier, mais le trou présent en son milieu.

C’est un russe atypique Grigori Perelman qui a démontré la conjecture. En effet, il vit pauvrement et lorsqu’en 2010 on lui propose la médaille Fields, équivalent du prix Nobel des Mathématiques, il refuse, tout autant que les 1 millions d’euros.

La solution, une partie dû moins, se trouve ici (36 pages de démonstration mathématiques).

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *